Le mot "rouille" est une mauvaise francisation, semble-t-il. Peut-être que la couleur rouille de certains ruisseaux landais a facilité l’erreur ?
Le "a" de début de "arrolha" a aussi été confondu avec le "a" de "la" rouille...
"arrolha" viendrait du bas-latin "arrogium" (Nicolaï) ou du latin "arrugia" (Fenié).
On peut penser que le mot castillan arroyo est de la même origine.
Et probablement aussi le basque arroila.

Il semble que le masculin "arrolh" (prononcer "arrouil") existe aussi, avec le même sens de rigole, ruisseau, fossé.

LA PALABRA DEL DÍA (www.elcastellano.org) donne la préférence à une origine prélatine :
"arroyo
Es uno de los pocos vocablos hispánicos prerromanos, que sobrevivieron a la latinización de la Península Ibérica.
En su origen, se refería a un ’canal artificial para el paso del agua’ y más tarde las ’largas galerías de las minas’, generalmente túneles muy estrechos por los que apenas podían pasar los mineros y con esa denotación fue acogido por los romanos y empleado por Plinio.

La palabra castellana se extendió al portugués arroio y se mantuvo en el vasco arroil (foso, desfiladero entre montes).
En varios dialectos italianos aparecen formas como ruga, roggia, con el sentido de ’acequia’ o ’canal’.

Sin embargo, Covarrubias supone en su diccionario (1611) que la palabra está formada por el artículo árabe al antepuesto a la voz latina rivus, o a su diminutivo rivulus o, tal vez, el griego ryo (yo fluyo). Esta hipótesis se descarta actualmente."

Le bas-latin a pu adopter et diffuser ce mot pré-latin, hispanique. Pour le mot espagnol arroyo, l’explication donnée plus haut suggère son entrée directe dans le lexique, à partir du mot pré-latin.
Pour ce qui concerne l’espace aquitain, nous n’avons aucun élément pour affirmer que cette racine existait avant la latinisation, et donc le gascon l’aurait reçu par ricochet.

Palay :
Multidiccionari francés-occitan
« arroulhe sf. Rigole ; ornière ; fossé ; canal ; l’outil appelé arroulh. Syn. arrélhe. »
Remarque : la forme arrélhe a un homonyme, soc (pièce de charrue) qui, justement, sert à creuser un sillon !

Lespy :
« ARROULHE, Arrolhe, Arrulhe rigole, ornière profonde, fossé, canal »
Les exemples donnés par Lespy utilisent beaucoup la forme arrulhe.
Lespy signale aussi une extension du sens à un terrain limité par des arrulhes, par exemple "un verger conquis sur le marais".

arrolha, arrulha, arrelha à partir de arrugula

Dérivés [Alis-Aiguillon 1600] : Janòt (Jeannot), Janicotet* (Jan + ic + ot + et - donc trois suffixes à valeur mi-diminutive mi-affectueuse !)

*Le livre de l’abbé Alis contient une orthographe du genre "Genny Coutet", présenté du même coup comme ayant une couleur anglo-saxonne...
Peut se prononcer "Yan".