Attention, le "r" final ne se prononce pas en général en graphie occitane normalisée.
Prononcer "haou" ou "aou" est une diphtongue.

hauressa (prononcer "hoouresso") : hauresse, femme de forgeron [Fauché, dialecte gascon de Tonneins] ?
En toponymie, on peut envisager des confusions entre hauresse, fauresse et (a)horest (forêt...). ahorest

Prononcer "haou" ou "aou" est une diphtongue.
Autres formes gasconnes :
hai (prononcer "haÿ")
hac (moins répandu ; écrit éventuellement "hag", notamment en graphie fébusienne ; plus proche de la racine latine fagusprononcer "hac" ; )
havoth, havora (prononcer "habouth, haboure" - le premier est masculin, l’autre féminin)
"haboure sf. Hêtre (fagus sylvatica). V. habout. Syn. hag, hau, hay." [Palay]
Multidiccionari francés-occitan
havoret (prononcer "habourét")
diminutif (mais surtout collectif : bois de hêtres) : haget et aussi haveda (prononcer "hawéde", "hawédo"...) : Bois planté de hêtre
"Se trouve dans les Pyrénées (forêt d’Iraty...), quelques localités reliques en Chalosse, Lot et Garonne…
Arbre pouvant atteindre 40 à 50 m, et vivre jusqu’à 500 ans.
Fruit : la faine, appréciée par les porcs ; on en tirait également de l’huile alimentaire.
Distillé à sec, le bois fournit la créosote.
Bois d’œuvre recherché (menuiserie, chaises…)"
[Gilles Granereau]

Le hau/hai a été important dans la Gascogne d’hier, si on en juge par le nombre des noms de lieu (et donc de personne) qui contiennent ce mot.