Analyse de ce nom de famille :

– Daste et Dasté existent en Gascogne

– Laste existe aussi.

– Le nom de famille Astouet existe mais n’est pas courant.

Il y a probablement la racine "ast", qui semble être germanique (ast = lance selon Jean Tosti - http://www.jtosti.com/noms/a5.htm).
Cette racine est passée en gascon : asta (prononcer plutôt "aste") = "manche" ou "broche" (toujours l’idée d’un pieux).

"Dastouet" peut être un nom de famille "Daste" formé à partir de la racine "ast", auquel se sont ajoutées deux terminaisons : "ou" (diminutif affectueux) et "et" (diminutif).