Evidemment, avec cette terminaison "igt", on a affaire à un nom principalement béarnais, comme les attestations de Geneanet le confirment.
Doit correspondre au languedocien "Badel".
L’IGN donne :
BADEIGT [SAUVETERRE-DE-BÉARN - 64]
BADEIGT [SERRES-SAINTE-MARIE - 64]

On pourrait imaginer une forme normalisée "Vadèth". La connaissance de l’étymologie aiderait à trancher.