Voici l’explication donnée par Pierre KUNZ, à laquelle souscrit Gasconha.com (mais "bernet/vernet", et "pe" dans les différents sens qu’il évoque, n’existent pas seulement en Béarn, mais dans toute la Gascogne) :
"Bern", en béarnais, c’est le vergne, ou aulne (Marie-Thérèse Morlet : Dictionnaire étymologique des noms de famille). Bernet, berna, bernata, c’est l’aulnaie, l’endroit planté de vergnes (Simin Palay : Dictionnaire du béarnais et du gascon modernes).
« Pé », le plus couramment c’est une contraction de « Pey », le prénom Pierre en béarnais.
Autrement dit Pébernet, c’est « Pierre d’Aulnaie ».
Mais dans certains cas « Pé » c’est le pied, le bas ; dans ce cas Pébernet, c’est le « pied de l’aulne », ou, plus probablement, le « bas du coteau planté d’aulnes ».
Parfois « Pé » c’est la contraction de Pouey, le mont, la colline. On retrouve alors la « colline plantée d’aulnes ».
Mais attention cette explication ne vaut que pour des Pébernet du Béarn ; l’étymologie peut être différente dans d’autres régions. Et, même en Béarn, si les Pébernat sont le plus souvent des variantes de Pébernet, ils peuvent aussi être la contraction de « Pierre Bernard ».

(A noter que Frédéric Mistral cite le nom provençal Pévergne, avec strictement la même étymologie que le Pébernet béarnais)."