L’explication de "Maye" par le gascon "mair" (mère - prononcer "maï") circule. Il serait question d’une auberge, et d’une mère des compagnons du Tour de France... Mais la présence en Bordelais d’autres noms qui comportent "Maye" fait douter de cette hypothèse.

Une anecdote : A la suite d’une erreur de lecture, le Pont de la Maye a figuré dans un document comme "Pont de Launay".
[F. Magnant]

Mise à jour 2021 :
Ce serait bien "la mère", mais pas celle des compagnons du Tour de France (!), celle des ruisseaux "enfants" de l’Eau bourde.
Voir la discussion sur l’Eau blanche parfois appelée "May de la riu".