Cassini semble écrire "Betugne", ce qui orienterait vers Bétuing (anciennement localisé à Losse par Généanet, et aussi à Saint Pé Saint Simon vers 1900 par Géopatronyme, variante : Bétuin)...
De même qu’un lieu proche, Castay, doit dériver de Castaing (Castanh), on peut faire dériver un "Bétuy" (Bétuÿ) de Bétuing, et Bétuÿ* a pu à la rigueur être noté "Béteuil".

* IGN : bétuy, 40260 Lesperon (Bétuc pour le Cad. napo. !)
FANTOIR :
40261 Saint-Geours-de-Maremne BETUY
31160 Daux BETOUEIL (Bèth oelh ? autre piste, alors...)